На главную страницу
Домашняя
страница
А.А.Кокина
Шредингеровский кот
Квантовые
компьютеры
[Мемуары] [ФТФ УПИ-50 лет]

На правах рукописи    


КОКИН Александр Александрович

ТВЕРДОТЕЛЬНЫЕ ЯДЕРНЫЕ МАГНИТО-РЕЗОНАНСНЫЕ (ЯМР) АНСАМБЛЕВЫЕ КВАНТОВЫЕ КОМПЬЮТЕРЫ

(ИССЛЕДОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ОСНОВ И ПРОБЛЕМ РЕАЛИЗАЦИИ)

Специальность 05.27.01 — твердотельная электроника,
радиоэлектронные компоненты, микро- и наноэлектроника,
приборы на квантовых эффектах



АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени
доктора физико-математических наук








Москва 2003





Работа выполнена в Физико-технологическом институте РАН

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук,
М.А.Чуев

доктор физико-математических наук
С.Н.Молотков

доктор физико-математических наук, профессор
Ю.Г.Рудой

Ведущая организация:

Московский государственный институт электронной техники (Технический университет)




Защита состоится 14 апреля 2003 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д.002.204.01 в Физико-Технологическом институте РАН, по адресу 117218, Москва, Нахимовский проспект, д.36, корп. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физико-технологического института РАН.




Автореферат разослан 12 марта 2003 г.




Временно исполняющий обязанности ученого секретаря диссертационного совета

доктор технических наук                          Ю.П.Маишев


ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Количество публикаций по квантовым вычислениям и квантовой теории передачи информации в настоящее время приобрело лавинообразный характер. Это способствовало, с одной стороны, более глубокому осмысливанию физических основ самой квантовой теории, ее связи с квантовой теорией информации, а с другой стороны, стимулировало усилия по реализации как нового перспективного направления в вычислительной технике – квантовых компьютеров, так и совершенно новых квантовых технологий, рождающихся на стыке, совершенно разных наук.

Среди важных задач, не доступных современным классическим компьютерам и решения которых можно было бы ожидать от квантового компьютера, отметим задачи тонкого моделирования многочастичных квантовых систем, к которым можно отнести сложные молекулы, биологические объекты, а также элементы современной наноэлектроники. Это могут быть и такие квантовые системы, где наряду с другими квантовыми свойствами существенную роль играют суперпозиция, запутанность состояний, особенности квантовой динамики.

Следовательно, уже сейчас потребность в квантовых компьютерах существует и с появлением новых задач она, несомненно, будет возрастать. Детальный анализ состояния исследований в области квантовых компьютеров и квантовых вычислений на начало 2001 года был недавно дан в монографии [1], а также в нашей книге [2].

В настоящее время полномасштабный многокубитовый квантовый компьютер, превосходящий по своим возможностям любой работающий на булевой логике классический компьютер, является пока умозрительной конструкцией.

Среди возможных для его реализации вариантов выделяются ядерные магнитно-резонансные (ЯМР) квантовые компьютеры, использующие в качестве квантовых битов (кубитов) ядерные спины со спиновым квантовым числом I = 1/2.

В настоящее время уже созданы простейшие прототипы жидкостных ЯМР квантовых компьютеров на органических молекулах с числом ядерных спинов-кубитов £ 7 в каждой молекуле, которые работают как большой ансамбль независимо работающих одинаковых молекул–компьютеров при комнатных температурах. На них были экспериментально продемонстрированы некоторые квантовые алгоритмы решения трудно разрешимых на классических компьютерах задач (алгоритмы Гровера, Дойча-Джозса, Шора), а также уникальные свойства квантовых систем связи, таких как телепортация, новые возможности в криптографии, опробованы эффективные методы коррекции квантовых ошибок [3,4]. Однако создание на этом пути полномасштабного ЯМР квантового компьютера оказывается в принципе невозможным. Число кубитов в жидкостных ансамблевых квантовых компьютерах не может превышать 20–30.

Полномасштабный же квантовой компьютер должен удовлетворять ряду основных требований [5,6]. В частности, квантовые регистры должны содержать не менее 1000 кубитов, требуется, чтобы перед вводом информации было подготовлено такое начальное состояние квантового регистра, в котором все кубиты находятся в своем основном базисном состоянии (так называемая инициализация состояния квантового регистра). Требуется также, чтобы нарушение когерентности этого состояния и состояния, возникающего при вводе информации, (так называемая декогерентизация) было подавлено в течение времени, требуемого для выполнения необходимого числа логических операций.

Твердотельные ЯМР квантовые компьютеры имеют следующие преимущества:

  1. Ядерные спины сами по себе являются кубитами.
  2. Число кубитов в квантовом регистре может быть произвольно велико.
  3. При низких температурах состояния ядерных спинов-кубитов характеризуются очень большими временами релаксации (и, соответственно, временами декогерентизации) по сравнению с кубитами на электронных состояниях.
  4. Твердотельные структуры нанометрового масштаба, которые предполагается использовать в полупроводниковых ЯМР квантовых компьютерах, предназначаются не для создания самих кубитов, как в случае сверхпроводниковых квантовых устройств, а лишь для задач управления кубитами и измерения их состояний.
  5. Определенные дополнительные преимущества имеют, кроме того, твердотельные ЯМР квантовые компьютеры, работающие на принципе клеточного автомата.

Состояние современной высокоточной технологии и технологии высокочистых материалов уже сейчас позволяют приступить к экспериментальным работам по созданию элементов полупроводниковых ЯМР квантовых компьютеров. Уже созданы простейшие фрагменты такого компьютера. Однако создание многокубитовых твердотельных структур – более далекая перспектива. Потребуется привлечение многих технологических и схемотехнических достижений современной микро- и наноэлектроники, а также исследование и моделирование физических процессов, в частности процессов декогерентизации, в многокубитовых квантовых системах.

Число предложенных вариантов многокубитовых квантовых компьютеров постоянно растет. Широкую известность получил полупроводниковый вариант, основанный на схеме Б.Кейна, с индивидуальным обращением к отдельным кубитам [7]. Предпринимаемые первые успешные экспериментальные шаги в направлении создания элементов такого кремниевого многокубитового ЯМР квантового компьютера в Австралийском Центре технологии квантовых компьютеров [8,9] внушают определенный оптимизм.

Однако на пути к реализации полномасштабных квантовых компьютеров нерешенными остается целый ряд проблем как общефизического, так технического и технологического характера, из-за чего ни один из уже предложенных вариантов многокубитовых квантовых компьютеров пока не удалось нигде осуществить.

Среди таких проблем выделим следующие:

  1. Контроль и измерение состояний отдельных кубитов в многокубитовом ЯМР квантовом регистре является еще не решенной в практическом плане задачей.
  2. Не исследована возможность использования ансамблевого подхода в твердотельных квантовых компьютерах.
  3. Недостаточно изучены основные механизмы декогерентизации состояний в твердотельных квантовых регистрах и не определены условия подавления этих механизмов.
  4. Не изучены возможности использования для инициализации состояния ЯМР квантового регистра методов динамической поляризации ядерных спинов.
  5. Не исследованы возможности создания твердотельных ЯМР квантовых компьютеров с архитектурой квантового клеточного автомата.

Решение отмеченных проблем является актуальным, прежде всего, с точки зрения разработки способов реализации полномасштабных ансамблевых ЯМР квантовых компьютеров. Кроме того, рассмотрение этих и некоторых других проблем представляет также и значительный общефизический интерес.

Цель работы

  1. Теоретическое изучение и обоснование новых твердотельных вариантов ансамблевых многокубитовых ЯМР квантовых регистров, позволяющих преодолеть основные трудности, встречающиеся на пути осуществления известных вариантов.
  2. Разработка способов реализации общих требований [5,6], предъявляемых к полномасштабным квантовым компьютерам, при использовании ансамблевого принципа обращении к кубитам квантового регистра.

Достижение поставленной цели предполагало решение следующих основных задач:

  1. Теоретическое исследование равновесных свойств чистых и смешанных состояний твердотельных ЯМР квантовых регистров, а также обобщение уравнений Блоха и Линдблада, позволяющее адекватно моделировать процессы декогерентизации состояний в таких системах.
  2. Разработка адекватной модели адиабатической декогерентизации состояний ядерных спинов в твердотельных квантовых регистрах, позволяющей сформулировать условия ее подавления до требуемого уровня.
  3. Обоснование преимуществ использования ансамблевого подхода для полупроводникового ЯМР квантового компьютера.
  4. Изучение возможности использования для инициализации квантовых состояний в полупроводниковом ЯМР квантовом компьютере динамической поляризации (эффект Абрагама) ядерных спинов.
  5. Разработка схемы ЯМР ансамблевого квантового клеточного автомата на антиферромагнитных структурах и принципов организации логических операций.

Для решения этих задач в диссертации были использованы методы физики полупроводниковых приборов микро- и наноэлектроники, физики ядерного магнитного резонанса, квантовые методы магнетизма, методы квантовой теории информации.

Научная новизна

  1. Впервые сформулировано обобщенное уравнение Блоха, позволяющих адекватно описывать релаксацию состояний ядерных спинов в твердых телах, и предложено соответствующее обобщение для уравнения Линдблада.
  2. Предложены и изучены новые модели адиабатической декогерентизации состояний ядерных спинов в полупроводниковом квантовом регистре.
  3. Впервые предложено использовать в алгоритме факторизации Шора вместо квантового фурье-преобразования квантовое вейвлет-преобразование.
  4. Впервые предложен и изучен ансамблевый вариант полупроводникового ЯМР ансамблевого квантового компьютера с полосковыми затворами.
  5. Впервые предложен и изучен ЯМР квантовый клеточный автомат и его ансамблевые варианты.

Практическая значимость полученных результатов

Результаты проведенных исследований показали преимущества предложенного ансамблевого подхода при решении многих из перечисленных проблем. Они позволяют сформулировать необходимые при проектировании и реализации конкретных схем полномасштабных ансамблевых ЯМР квантовых компьютеров и квантовых клеточных автоматов технические и технологические требования. Разработанные в результате теоретических исследований многокубитовых квантовых регистров модели, позволяющие описывать процессы инициализации и декогерентизации квантовых состояний, могут быть положены в основу общих методов моделирования многокубитовых квантовых компьютеров.

Апробация работы

Основные результаты в области физики ЯМР в твердых телах и ЯМР квантовых компьютеров, относящиеся к теме представленной диссертации, были получены и опубликованы автором в периоды с 1959 по 1970 годы и с 1999 по 2002 годы. Они изложены в кандидатской диссертации (1961 г.), в книге «Уширение резонансных линий и релаксация» (1970 г.), в монографии Валиева К.А. и Кокина А.А. «Квантовые компьютеры: надежды и реальность» (издания 2001 и 2002 гг.), в 14 статьях (в том числе 7 без соавторов), представлены в сообщениях на 12 школах и конференциях, а также в 4-х электронных препринтах. В период 1998 по 2002 годы, отдельные результаты неоднократно докладывались и обсуждались в Физико-технологическом институте РАН, на семинаре по квантовым компьютерам, руководимом К.А.Валиевым, а также семинаре по квантовой информатике в МГУ. Список научных работ автора и с его участием по теме диссертации составляет 32 названия (список приводится ниже).

Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих, соответственно, 15 и 10 разделов, 5 приложений и заключения, содержит 21 рисунок и списки литературы по главам, всего 148 названий. Общий объем диссертации 184 страницы.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ:

  1. Обоснование перспективности ансамблевых принципов в схемах многокубитового полупроводникового ЯМР квантового компьютера с полосковыми затворами и многокубитового ЯМР квантового клеточного автомата на антиферромагнитной структуре.
  2. Схема планарного кремниевого ансамблевого многокубитового ЯМР квантового регистра с числом элементов ансамбля N~ 106 , позволяющая использовать стандартную технику ЯМР или технику двойного электрон-ядерного резонанса для измерения и контроля состояний кубитов.
  3. Обобщение уравнений Блоха и Линдблада на случай немарковского характера случайных полей, создаваемых окружением, имеющее существенное значение для моделирования процессов декогерентизации состояний кубитов в твердотельном ансамблевом квантовом регистре.
  4. Модели адиабатической декогерентизации состояния кубита в ЯМР квантовом регистре, учитывающие двухбозонные упругие процессы рассеяния и взаимодействия с магнитными моментами примесных атомов, а также модель адиабатической декогерентизации двухкубитового состояния ядерных спинов в структуре с антиферромагнитным характером взаимодействия между кубитами.
  5. Обоснование возможности использования для инициализации состояний ядерных спинов в ансамблевом квантовом регистре динамических методов поляризации типа солид-эффекта Абрагама при сохранении рабочей температуры системы в пределах 0,1 К.
  6. Схема выполнения однокубитовых и двухкубитовых операций в ЯМР квантовом автомате.
  7. Обоснование возможности использования для реализации ансамблевого ЯМР квантового автомата как искусственных, так и естественных двухмерных и трехмерных антиферромагнитных структур, атомы которых имеют ядерные спины I = 1/2.
  8. Вывод о том, что проблема появления в процессе инициализации неконтролируемых фазовых множителей со случайными аналоговыми фазами у составляющих суперпозиции базисных состояний решается в ансамблевых квантовых регистрах.
  9. Обоснование возможности использования квантового вейвлет-преобразования в алгоритме факторизации для решения проблемы возрастающей экспоненциально с числом квантовых ЯМР операций временной цены этого алгоритма.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во ВВЕДЕНИИ обосновывается актуальность темы диссертации, излагаются цели и задачи работы, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава «Физические основы ансамблевых ЯМР квантовых компьютеров» посвящена теоретическому исследованию основных физических свойств многокубитовых квантовых регистров, имеющих существенное значение для создания твердотельных ЯМР ансамблевых квантовых компьютеров.

Рассмотрение начинается со способов описания стационарного состояния спина-кубита, обладающего двумя базисными (вычислительными) состояниями |↑с є |0с и |↓с є |1с и релаксационных процессов в твердотельном однокубитовом ансамбле (разделы 1.1-1.2). Показано, что широко известное в теории ЯМР феноменологическое уравнение Блоха, описывающее динамику неравновесного вектора Блоха P(t), составляющие которого определяют элементы матрицы плотности спина-кубита, не справедливо в случае воздействия на него сильных переменных и неоднородных магнитных полей. Было выполнено соответствующее обобщение уравнения Блоха. Такое обобщение может быть существенным при моделировании поведения однокубитового ансамбля (ансамбля из отдельных независимых кубитов) под действием коротких и интенсивных радиочастотных импульсов.

Для адекватного описания поперечной релаксации в ансамбле спинов твердого тела, обусловленной взаимодействием с медленно флуктуирующими полями (немарковский характер случайных полей), создаваемых окружающей средой, требуется другое обобщение уравнения Блоха. Первый вариант этого уравнения впервые был опубликован автором в 1961 г. [10,11] и развивался далее в [12]. Позднее общий вывод этого уравнения на основе операторного метода был выполнен в работе Ф.Ладо и др.[13].

Для постоянного магнитного поля B, направленного по оси z, такое обобщение уравнения Блоха сводится к преобразованию слагаемого, описывающего поперечную релаксацию в первоначальном уравнении Блоха

следующего вида
,
где P0 — равновесное значение вектора Блоха, w0 =  gB — резонансная частота спина-кубита, f(t) — функция памяти, выражаемая через функцию корреляции случайных полей, T^  и T||поперечное и продольное времена релаксации. Рассматриваемая в диссертации полуклассическая модель адиабатической декогерентизации является следствием этого уравнения.

В разделе 1.3 описывается общая принципиальная схема квантового компьютера, и формулируются основные требования к главной его части — квантовому регистру. Это — обеспечение инициализации его состояния и подавление декогерентизации. Отмечается также, что при выполнении квантовых вычислений число элементарных квантовых операций не должно расти экспоненциально с числом кубитов, представляющих задачу. Физическим аспектам этих вопросов в первой главе далее уделяется основное внимание.

В разделе 1.4 рассмотрен двухкубитовый ансамблевый (ансамбль из независимых двухкубитовых систем) регистр с изотропным антиферромагнитным гайзенберговским взаимодействием между спинами (XXX–модель), гамильтониан которого имеет вид матрицы 4×4 (в единицах, в которых постоянные Планка ћ и Больцмана k равны единице):

H= –  w0 (I1z  Ä1211 ÄI2z) +  (I1 ÄI2) ,
где 1 — единичная матрица 2×2, > 0 — параметр обменного взаимодействия, I1, I2 — матрицы 2×2 спиновых операторов.

Его четыре собственных значения (здесь I= 0, 1; M= ±I, 0):

E(I, M) =  – w0 M + J (I(I+1)/2 – 3/4)
соответствуют чистым синглетному и триплетному максимально запутанным ЭПР (Эйнштейн, Подольский, Розен) состояниям |yЭПРсsqrt(1/2) (|↑↓с± |↓↑с), для которых степень запутанности, характеризуемая параметром согласованности (concurrence) C = 1 и двум незапутанным полностью поляризованным триплетным состояниям |↑↑с и |↓↓с с C = 0. Основным состоянием в полях w0gB < J является максимально запутанное синглетное ЭПР состояние. Характерно, что вклад в него однокубитовых состояний, описываемых векторами Блоха, равен нулю.

Смешанные состояния в двухкубитовом ансамбле (раздел 1.5) при наличии окружающей среды устанавливаются при конечных температурах. В слабых полях с ростом температуры запутанность смешанного состояния уменьшается за счет примешивания вышележащих состояний и исчезает при температуре T = Tc = J/ln3. При низких температурах c увеличением поля B переход в незапутанное основное поляризованное состояние |↑↑с происходит скачком при gB = J.

Показано, что используемое в жидкостных квантовых компьютерах преобразование смешанного состояния в квазичистое состояние путем «временного усреднения» не применимо для инициализации частично запутанных смешанных состояний, характеризующихся недиагональными в вычислительном базисе элементами матрицы плотности.

В разделе 1.6 рассмотрены квантовые состояния и, в частности, условия образования запутанности, в L-кубитовом квантовом регистре — одномерной двухподрешеточной кольцевой цепочке спинов с одноосным анизотропным антиферромагнитным типом взаимодействия между соседними спинами с разными гиромагнитными отношениями (XXZ–модель). Был использован модельный гамильтониан вида:

H=Sum(k=1,L) {gkB(Ik,z  Ä1k+1)– gk+1B(1k  ÄIk+1,z)+ J^ (Ik,x  ÄIk+1,x Ik,yÄIk+1,y) +  JIk,zDIk+1,z } ,
где J > J^> 0, JAJ – J^ > 0 — константа анизотропии взаимодействия (легкая ось намагничивания z), gk =  g1 — для нечетных и gk+1g2 — для четных узлов. Случай J = 0 принято называть XX0 или двухмерной изотропной XY–моделью, а J^ = 0 — моделью Изинга (00Z).

Для определения степени запутанности состояний произвольной пары соседних спинов в цепочке ее полная матрица плотности путем вычисления следа по состояниям всех остальных спинов, рассматриваемых как часть окружающей среды, с которой взаимодействуют выделенная пара спинов, преобразуется к равновесной приведенной двухспиновой матрице 4×4:

rr =  exp(– H/T)/Sp(exp(– H/T)) .

При этом учитывается, что взаимодействие произвольного спина с двумя соседними спинами эквивалентно взаимодействию только с одним соседним спином, но с удвоенным параметром взаимодействия. Двухспиновый гамильтониан в матрице rr

H= – w1(I1zÄ 1) – w2(1Ä I2z) +  2J^ (I1xÄI2x+I1y ÄI2y)  + 2(I1z  Ä I2z) ,
имеет собственные значения
E1,2 =J/2±( w1+ w2)/2,       E3,4 =– J/2± J^ ,       X =  ,
соответствующие двум незапутанным состояниям |y1 с= |↓↓с, |y2 с=|↑↓с и двум парным частично (при w1¹ w2) запутанным состояниям
|y3с= sqrt(1-eps) |↑↓с+ sqrt(eps) |↓↑с, |y4с= sqrt(eps) |↑↓с с–  sqrt(1-eps) |↓↑с, е = 1/2( 1 –  ).

Показано, что влияние анизотропии взаимодействия и различия в гиромагнитных отношениях спинов подрешеток проявляется в уменьшении критической температуры, при которой исчезает парная запутанность, по сравнению со значением Tc= 2J/ln3 для соответствующей XXX–модели. Запутанность полностью отсутствует в случае предельно сильной анизотропии (модель Изинга J^ = 0).

Получены общие выражения для параметра согласованности и энергии основного состояния для кольцевой цепочки с анизотропным взаимодействием при T = 0, из которых, в частности, следует, что для изотропной XXX — модели основному состоянию цепочки в отсутствие поля соответствует предельное значение парной согласованности C= 0,386 (отсутствует полная парная запутанность).

Сделан вывод о том, что для инициализации основного состояния квантового регистра в виде цепочки спинов с антиферромагнитным типом взаимодействия необходимо иметь достаточно сильные внешние магнитные поля и/или сильную анизотропию взаимодействия между спинами. При ферромагнитном характере взаимодействия основное состояние всегда не запутано.

Для описания динамики смешанного состояния рассматриваемого квантового регистра и, в частности, процесса декогерентизации в разделе 1.7, как и при рассмотрении равновесного состояния, используется двухкубитовая модель. Приведенная матрица плотности 4×4 произвольного смешанного состояния имеет 42–1 = 15 независимых вещественных элементов или независимых динамических переменных Qa(t), которые выражаются через шесть составляющих двух векторов Блоха P1 и P2 и девять вещественных составляющими трехмерных тензоров корреляции второго ранга G1i,2j(i,j = x,y,z).

Если составляющие тензора корреляции для пары спинов не учитываются, то есть, если классическая и квантовая (запутанность) корреляция между ними не существенна, то число независимых динамических переменных модели сводится к шести (составляющие двух векторов Блоха), а связывающая их в линейной системе динамических уравнений эрмитовая матрица, содержит 36 вещественных параметров. Для случая, когда имеется также осевая симметрия ансамбля, задаваемая внешним полем и взаимодействием с окружающей средой, соответствующая система уравнений для векторов P1 и P2, с 12 вещественными параметрами была сформулирована автором в 1959 г.[17,18].

Для случая быстро флуктуирующих (марковский характер) случайных полей, создаваемых окружением, общая линейная система уравнений для произвольного числа спинов была впервые сформулирована Р.Вангснессом, Ф.Блохом и А.Редфильдом в 1953–1957 годах, а в 1976 году в компактной операторной форме Дж.Линдбладом, которая, однако, описывала релаксацию системы к максимально смешанному состоянию, с равными населенностями для всех состояний.

Показано, что для того, чтобы система для 15 динамических переменных описывала установление термодинамически равновесных значений Qa0, в соответствующем релаксационном слагаемом уравнения Линдблада следует заменить Qa(t) на разность Qa(t) – Q a0, вводя еще дополнительно 15 параметров — равновесных значений Qa0. Структура системы уравнений принимает вид

dQa/dt =  Sum(beta,15) Mab Qb+ Sum(beta,15) Rab (Qb -  Qb0(B)
где Mab — антисимметричная эрмитовая матрица с 15·7 = 105 вещественными параметрами, Rab — независящая от времени эрмитовая, положительно определенная матрица с 15·15 = 225 вещественными параметрами.

В этом же разделе указан также способ обобщения уравнений Линдблада на случай немарковского характера флуктуирующих полей путем введения соответствующей матрицы памяти fab(t), то есть путем замены следующего типа (осциллирующие множители здесь включены в fab(t)):

,
что может быть существенно при рассмотрения спиновой динамики в твердотельных анизотропных структурах.

Полное моделирование процессов декогерентизации квантовых состояний в L-кубитовых ЯМР квантовых регистрах, то есть эволюции всех (22L – 1)(22L – 1) ~ 24L  элементов матрицы плотности при произвольных внешних воздействиях оказывается практически невозможной уже при L~100.

В разделе 1.8 обсуждаются преимущества использования таких инвариантных относительно выбранного представления матрицы плотности общих характеристик декогерентизации, как точность воспроизведения (fidelity) и чистота (purity) квантового состояния.

При этом отмечается, что для твердотельных квантовых регистров, работающих при низких температурах, адекватным является адиабатический механизм декогерентизации, при котором релаксация энергии практически не происходит.

Проведенный в разделе 1.9 анализ известной точно решаемой квантовой модели адиабатической декогерентизации состояния спина-кубита, взаимодействующего с бозонным резервуаром посредством однобозонного оператора типа  HSB [14,15], выявил ряд ее трудностей и показал ее несостоятельность. Автором предложена и изучена альтернативная квантовая двухбозонная модель адиабатической декогерентизации (раздел 1.10), свободная от трудностей однобозонной модели. В ней оператор взаимодействия с бозонным резервуаром имеет вид HSB. В рамках теории возмущений получены выражения для декремента декогерентизации.

В разделе 1.11 представлена простейшая полуклассическая модель адиабатической декогерентизации для однокубитовых ансамблей с произвольной функцией памяти. Она следует из обобщенного на случай немарковских случайных процессов уравнения Блоха. В рамках этой модели рассмотрены быстро и медленно флуктуирующие случайные поля с гауссовским распределением. Адиабатическая модель распространена и на процессы декогерентизации в двухкубитовых ансамблях. В частности показано, что для полностью запутанных ЭПР состояний при максимально коррелированных случайных полях (взаимодействие с одной и той же адиабатической модой) декогерентизация исчезает. Эта пара состояний является примером простейшего базиса так называемого подпространства свободного от декогерентизации (decoherence-free subspace –DFS), который может быть использован для кодирования состояний логических кубитов. Для запутанных состояний типа шредингеровского кота скорость адиабатической декогерентизации растет с числом кубитов линейно или квадратично в зависимости от степени коррелированности случайных полей.

В разделе 1.12 рассмотрена полуклассическая модель адиабатической декогерентизации, которая учитывает взаимодействие спин-кубита с флуктуирующими магнитными моментами случайно распределенных примесных атомов. Найдено выражение для декремента декогерентизации в зависимости от концентрации примесных атомов, температуры и времени продольной релаксации спиновой поляризации примесных атомов. Эта модель используется во второй главе для получения условий подавления декогерентизации в кремниевом ЯМР ансамблевом квантовом компьютере.

В разделе 1.13 рассмотрены трудности реализации алгоритма факторизации Шора производящего разложение многозначного числа на простые множители в ЯМР квантовых компьютерах на основе квантового фурье-преобразования. Основной трудностью является быстрый рост временной цены реализации алгоритма Шора при работе на ЯМР квантовых компьютерах с увеличением размерности разлагаемого числа, обусловленный использованием при фурье-преобразовании двухкубитовой операция контролируемой фазы [16]. При этом, при выполнении квантового фурье-преобразования имеют место излишние вычислительные затраты, связанные с учетом амплитуд с большими значениями волновых чисел, которые не играют определяющей роли для задачи факторизации. В качестве альтернативного подхода автором предложено (разд. 1.14, 1.15) использовать вместо квантового фурье-преобразования квантовое вейвлет-преобразование, которое не содержит операций типа контролируемой фазы и основных недостатков, присущих фурье-преобразованию [2]. На примере использования простейших базисных вейвлет-функций Хаара продемонстрированы его преимущества.

В приложении П1 приведен вывод обобщенного уравнения Блоха, а в приложении П2 описаны основные одно- и двухкубитовые операции.

Вторая Глава «твердотельные ЯМР Ансамблевые квантовые компьютеры» посвящена исследованию проблем реализации ансамблевых твердотельных ЯМР квантовых компьютеров. Изложение начинается (раздел 2.1) с анализа принципиальных ограничений для жидкостных ЯМР ансамблевых квантовых компьютеров, не позволяющих из-за экспоненциально уменьшающегося с числом кубитов ЯМР сигнала, осуществлять квантовые операции в системах с числом кубитов более 20-30. Далее рассматриваются пять общих условий, необходимых для реализации полномасштабных, твердотельных квантовых компьютеров.

По поводу возможности создания полномасштабных квантовых компьютеров был высказан ряд скептических замечаний, указывающих, по мнению их авторов, на существование ряда принципиальных трудностей. В разделах 2.2–2.4 проанализированы основные из этих проблем и намечены способы их решения.

В частности показано, что отмеченная в [19] трудность, связанная с неизбежным появлением, как в процессе приготовления индивидуальных базисных состояний, так и при выполнении неидеальных унитарных преобразований, фазовых множителей со случайными непрерывными фазами в суперпозиции базисных состояний, в значительной степени преодолевается при переходе к ансамблевым квантовым регистрам. В результате ансамблевого усреднения эти фазовые множители становятся детерминированными комплексными коэффициентами. Исключению случайных аналоговых фазовых ошибок в базисных состояниях квантового регистра может способствовать также специально организованная декогерентизация матрицы плотности в процессе инициализации. Состояние квантового регистра становится смешанным. Степень смешанности будет определяться некоторой средней вероятностью ошибки p, которую можно рассматривать как аналог температуры для термодинамически равновесного смешанного состояния, малые значения p соответствуют низким температурам.

Другая проблема, указанная в [20], связана с увеличением вероятности ошибки при переходе к высшим двоичным разрядам во входном квантовом регистре, если базисные состояния отдельных кубитов физически эквивалентны и заданы с одинаковой точностью.

Для ее решения в разделе 2.3 предложено вместо состояний физических спинов-кубитов, соответствующих каждому двоичному разряду, использовать состояния логических кубитов, кодируемых блоком из исходных физических кубитов с двумя квантовыми состояниями, с таким расчетом, чтобы обеспечить необходимое подавление ошибок состояний у логических кубитов при переходе к высшим разрядам. Для этого предлагается воспользоваться известным методом связанных (concatenated) кодов, представляющих собой иерархию кодирующих схем с числом уровней иерархии, определяемых положением логического кубита в регистре и значением необходимой вычислительной точности для данного разряда. Показано, что при том же значении ошибки p для отдельного физического кубита полное число физических кубитов для кодирования L-го разрядного числа полиномиально растет с числом L.

В разделе 2.4 анализируется также роль разной временной зависимости фаз векторов состояний физических кубитов |0с º |↑с и |1с º |↓с из-за различия их энергий, которую автор заметки [20] относит к наиболее фундаментальным трудностям. Эта разность должна приводить к сложной осциллирующей временной зависимости фаз состояний регистра и к невозможности контролировать когерентность такого состояния при выполнении вычислительных операций. На самом деле следует учесть, что при выполнении вычислительных операций происходит избирательное обращение к кубитам регистра, в результате чего их состояния оказываются различными не только с вычислительной, но и с физической точки зрения. При этом обычно называемая высокая точность ~ 105 выполнения логической операции на один кубит и один вентиль, необходима только для обеспечения помехозащищенности вычислительного процесса. Измерение же состояний логических кубитов производится лишь на выходе компьютера, где столь высокая точность не требуется.

В разделе 2.5 рассматривается схема многокубитового полупроводникового ЯМР квантового компьютера, предложенная Кейном [7]. Согласно этой схеме, в приповерхностный слой МОП-структуры из изотопно-чистого кремния 28Si, на глубину порядка c ~ 10 нм, и на расстоянии друг от друга lx~ 20 нм, внедряются донорные атомы стабильного изотопа 31P с ядерным спином = 1/2, образуя своего рода линейную «искусственную молекулу», с произвольным числом ядерных спинов-кубитов. Контроль состояний и селективность резонансных частот кубитов предполагается осуществлять с помощью электрических потенциалов на затворах A, определяющих величину параметра A сверхтонкого взаимодействия. Взаимодействие между кубитами в регистре предполагается контролировать с помощью электрического потенциала на других затворах J.

В разделе 2.6 представлено выполненное нами развитие этой модели. Показано [21], что за счет эффекта усиления, обусловленного воздействием радиочастотного поля на ядерные спины через электронную поляризацию и сверхтонкое взаимодействие в условиях резонанса, максимальное значение ЯМР сигнала достигается при меньших амплитудах радиочастотного поля b = bh/(1+h), где bh =  (1+gI )-1, h A/ gIB  >> 1 — коэффициент усиления, чем в отсутствии этого эффекта. Это позволяет снизить влияние этих полей на управляющие полупроводниковые устройства. С другой стороны, при тех же мощностях радиочастотных импульсов, благодаря увеличению частоты Раби, этот эффект позволяет уменьшить длительность импульсов, используемых для выполнения квантовых операций и тем самым увеличить тактовую частоту этих операций.

Максимально возможная интенсивность ЯМР сигнала имеет то же значение, что и в отсутствие эффекта усиления.

Эффект усиления был изучен нами и на основе обобщенного уравнения Блоха. Показано, что максимальному значению сигнала соответствует , где играет роль обратного времени поперечной релаксации. Оно достигается при t > max(T||, F(0)–1, F(0)/f(0)).

Структура энергетического спектра электрон-ядерной спиновой системы двух соседних доноров a и b в схеме Кейна в нулевом приближении описывается выражением

E0(S,M) =  wSM+ JS(S+1)/2 – 3/4]
с тремя триплетными (S =1, M = ±1, 0) и одним синглетным (S= 0, M= 0) уровнями. Здесь wS =  gBB – резонансная частота электронных спинов, J — параметр обменного взаимодействия между соседними спинами-кубитами, обусловленного перекрытием электронных волновых функций доноров.

Уровни энергии двух взаимодействующих электронных спинов (два соседних донора a и b)


Четырехкратное вырождение каждого из электронных состояний снимается при включении сверхтонкого взаимодействия с ядерными спинами, образуя сверхтонкую структуру.

Полный гамильтониан симметричен относительно перестановки доноров a и b и поэтому его собственные состояния распадаются на симметричные (ядерные и электронные спиновые триплеты или синглеты (I+S= 0, 2)), и антисимметричные (ядерный триплет и электронный синглет или наоборот (I + S = 1)) состояния.

Поскольку сумма проекций полного ядерного m = ma + mb и электронного M = Ma + Mb спинов на направление магнитного поля ma + mb +  Ma + Mb = m  + M является сохраняющейся величиной, то матрица 16×16, представляющая полный гамильтониан распадается на пять неприводимых матриц, соответствующих состояниям со значениями m + M = 0, ±1, ±2.

Наибольший интерес представляет поведение энергетических уровней вблизи точки пересечения C невозмущенных электронных уровней. В этой области достаточно весьма слабых возмущений для того, чтобы произошла раздвижка пересекающихся уровней (антипересечение), имеющих одинаковую симметрию. Простой анализ этого случая приведен нами в [2,22].

В точке C встречаются только три из четырех состояний неприводимой совокупности сверхтонких состояний |SMImс, соответствующей m + M = – 1: |1,–1; 1, 0с, |1,–1; 0, 0с, |0, 0; 1,–1с и три из шести состояний неприводимой совокупности, соответствующей m + M = 0: |0, 0; 0, 0с, |0, 0; 1, 0с, |1,–1; 1, 1с. Оставшиеся, соответственно, одно и три состояния из этих совокупностей относятся к вышележащим электронным спиновым состояниям, при wS>> A они не играют существенной роли и могут не учитываться. Антипересечения возникают для антисимметричных пар состояний |1,–1; 0, 0с, |0, 0; 1,–1с и симметричных пар состояний |0, 0; 0, 0с, |1,–1; 1, 1с.

Собственные значения энергии антипересекающихся антисимметричных состояний с m + M = – 1 имеют вид

.

Квантовые состояния, соответствующие этим уровням, представляют собой суперпозиции двух состояний |1,–1; 0,0с и |0, 0; 1,–1с.

Частота перехода между нижним и средним уровнями вблизи точки C  при J <  wS определяется выражением

wJ=E0(1,–1) .

В этой области она соответствует разности энергий синглетного |0, 0с и триплетного |1, 0с (запутанных) состояний пары ядерных спинов с равной нулю полной проекцией ядерных спинов m= 0 и триплетным состоянием электронных спинов |1,–1с. Для значений B = 2 Тл, wS = 57рад ГГц и J = 30 рад ГГц < we имеем wJ = 75 рад кГц .

В первоначальной схеме Кейна [7] предполагалось использовать именно эти два уровня в качестве «рабочих» для организации двухкубитовых операций, а также процесса измерения конечного состояния кубита.

Два типа пар антипересекающихся уровней вблизи точки C.


Как видно из рисунка, адиабатическое увеличение параметра J или уменьшение величины поля B при прохождении точки C справа налево приводит к переходу нижнего антисимметричного состояния электрон-ядерной системы с M + m = – 1 из триплетного электронного состояния двух доноров с полной проекцией спина M = – 1 в синглетное состояние с M = 0. Соответственно, происходит переход состояния ядерных спинов из синглетного запутанного |0, 0с в триплетное незапутанное состояние |1,–1с, с перевернутым значением одного из спинов. Другими словами электрон и ядро обмениваются спиновыми состояниями. При этом состояния ядерных спинов до и после прохождения точки C имеют, соответственно, равный нулю полный вектор Блоха и полностью поляризованный суммарный вектор Блоха. В обоих случаях сигнал ЯМР не генерируется, детектирование таких состояний кубита Кейном предлагается производить косвенным образом путем измерения электронных спиновых состояний с помощью высокочувствительных емкостных методов.

Нами рассмотрена другая пара антипересекающихся симметричных состояний с m + M = 0 [2, 22-24], которая имеет собственные значения:

,

Нижнее антипересекающееся состояние в сильных полях |1,–1; 1, 1с в этом случае соответствует M = –1, m = 1, а вышележащее состояние |1,–1; 1, 0с соответствует M = –1, m = 0, то есть отличается только перевернутым состоянием одного из ядерных спинов. При прохождении точки пересечения происходит одновременное переворачивание как электронного, так и ядерного спина, снова происходит обмен информацией между электронным и ядерным спином, при этом ядерное триплетное незапутанное состояние ядерных спинов |1, 1с переходит в триплетное запутанное состояние |1, 0с.

Эта пара уровней предложена нами в качестве «рабочей» для организации вычислительных и измерительных операций, как в схеме Кейна, так и в схеме ЯМР ансамблевого квантового компьютера с полосковыми затворами. Ее преимущество состоит в том, что при прохождении точки C пара ядерных спинов сохраняется в триплетном состоянии, но полная проекция изменяется на единицу. Это соответствует повороту суммарного вектора Блоха двух кубитов из вертикального положения в перпендикулярную плоскость, в которой он вращается с резонансной частотой вокруг направления поля и, в отличие от схемы Кейна, индуцирует ЯМР сигнал.

Наличие в рассматриваемой схеме затворов делает необходимым проведение анализа зависимости постоянной структуры от электрического потенциала для разных форм управляющих затворов A и точности расположения под ними доноров. Показано, что при относительно малых значениях потенциала V эта зависимость имеет вид DA(V)/A » –(V/V0)2, где постоянная V0 определяется геометрическими параметрами затвора и поляризуемостью донорного атома c: . Для ширины затвора A a~ c ~ 10 нм, c = 4·1032 Ф см2 и характерного расстояния до возбужденных электронных уровней донора = 6,4.10–21Дж получена оценка [2224].

При использовании импульсных резонансных радиочастотных воздействий на ядерные спины, имеющих обычно ширину полосы ~ 104Гц, относительное изменение резонансной частоты (wA ~ 100 МГц) под действием электрического потенциала на затворе составит DwA (V)/wA  =  DA(V)/A » –  (V/V0)2 ~ 10–4. При предполагаемых геометрических параметрах a~ c ~ 10 нм, для необходимых значений напряжения на затворах получим V~ 10–2В.

Относительная среднеквадратичная ошибка в значении резонансной частоты, обусловленная разбросом значений постоянной сверхтонкой структуры , в конечном счете, определяется среднеквадратичной неточностью значения потенциала на затворах A , неточностью геометрических параметров a и c и неточностью расположения донорных атомов по глубине dz. Так среднеквадратичная ошибка параметра V0, связанная только с неточностью размещения атомов в плоскости, при a~c составляет .

Из общих требований для допускаемой относительной ошибки в настройке резонансной частоты » 2(V/V0)2  £ 10–4– 10–5, следует, что ошибки в расположении доноров по оси z должны быть, по крайней мере, на порядок меньше величины параметра a. Аналогичные выводы следуют и для допускаемой неточности расположения доноров в направлении x. При этом погрешность значения потенциала на затворе A должна быть на порядок меньше напряжения V.

Таким образом, для обеспечения необходимой точности выполнения квантовых операций следует предъявлять весьма жесткие требования к геометрическим параметрам наноструктуры.

В поле B= 2 Тл параметр обменного взаимодействия J(lx), при котором имеет место пересечение электронных спиновых уровней, соответствует в кремнии расстоянию между атомами lx~ 10–20 нм [7], а в случае германия при определенной ориентации осей симметрии по нашим оценкам [2, 22] оно может быть порядка 25–50 нм.

Основные трудности схемы Кейна по нашим представлениям состоят в следующем:

1. Для инициализации состояний кубитов потребуются либо очень низкие температуры ядерных спинов (< 1 мK), либо специальные методы динамической поляризации.

2. Сигнал, несущий информацию о состоянии ядерного спина индивидуального атома фосфора очень мал и требует разработки исключительно высокочувствительных одноэлектронных методов измерения.

3. Необходимо исключить влияние случайных фазовых множителей при подготовке индивидуальных базисных состояний квантового регистра и формировании суперпозиций базисных состояний.

4. Требуется высокая точность регулярного расположения донорных атомов и большого числа затворов в нанометровом масштабе.

5. Необходимо исключит влияния процесса декогерентизации квантовых состояний кубитов, определяемого шумовыми флуктуациями напряжения на затворах A.

6. Серьезную трудность представляет обеспечение точной настройки резонансных частот отдельных кубитов, и особенно, обеспечение точного контроля параметра J(lx) с его сложным осциллирующим характером зависимости от lx [25].

Разными авторами в качестве альтернативных было предложено несколько вариантов многокубитовых ЯМР ансамблевых квантовых компьютеров (раздел 2.7), в которых отсутствовали некоторые трудности схемы Кейна. Это ансамблевый гетероструктурный ЯМР квантовый компьютер с двухмерным электронным газом в условиях квантового эффекта Холла [26]. Это ЯМР ансамблевые квантовые компьютеры на естественных кристаллах типа флюорапатита с ядерными спинами атомов фтора в качестве кубитов [27] или гидроксиапатита кальция с протонами в качестве кубитов [28] и др., в которых для контроля и измерения их состояний магнитно-резонансные силовые микроскопы. Были предложены также ЯМР ансамблевые квантовые автоматы на трех и двух отличающихся по резонансной частоте типах кубитов [29,30].

В разделе 2.8 обсуждаются недостатки и преимущества таких вариантов и анализируется предложенная нами в 1999 г. новая схема многокубитового полупроводникового ЯМР ансамблевого квантового компьютера на донорных атомах 31P с полосковыми затворами, показанная на рисунке.

Схема расположения донорных атомов 31P под полосковыми затворами. Изображены две ячейки квантового регистра для трех элементов ансамбля в случае сильного поля B.


Расстояние между донорными атомами, находящихся под соседними полосковыми затворами типа A имеет то же значение lx~ 20 нм, что и в схеме Кейна. Под полосковыми затворами A атомы располагаются на расстоянии ly друг от друга. Эти атомы образуют однокубитовый ансамбль, резонансную частоту всех кубитов в котором предполагается настраивать путем изменения потенциала на затворе A, а путем изменения потенциала на затворах J включать и выключать косвенное взаимодействие между соседними однокубитовыми ансамблями. При этом, в результате ансамблевого усреднения, снимаются трудности, связанные с нерегулярной осциллирующей зависимостью постоянной J от расстояния lx в схеме Кейна.

Рассмотрены два возможных случая:

  1. Среднее расстояние между донорами ly под затворами A настолько велико, что косвенное спиновое взаимодействие между электронами этих донорных атомов пренебрежимо мало (J(ly) < T<<  wSJ(lx)). В этом случае система представляет собой ансамбль параллельно действующих независимых эквивалентных копий многокубитовых «искусственных молекул» Кейна. При температурах порядка 1 мК все ядерные спины-кубиты ансамбля будут находиться в одинаковых основных состояниях, определяемых внешним полем и сверхтонким взаимодействием. Измерение выходного сигнала от достаточно большого числа атомов N под затворами A может быть доступно стандартным методам ЯМР.
  2. Расстояние между донорами вдоль полоскового затвора настолько мало, что J(ly>> wSJ(l x) > kT и обменное взаимодействие между электронными спинами при регулярном расположении атомов под затворами A способствует образованию искусственных двухмерных донорных структур с квазиодномерными антиферромагнитно упорядоченными цепочками вдоль оси y. Электронные спины в антиферромагнитно упорядоченных цепочках создают соответствующим образом направленные сверхтонкие поля на ядерных спинах.

Ядерные спины соседних атомов под полосковыми затворами в зависимости от величины внешнего поля будут ориентированы либо по полю, либо по направлению электронного спина. В обоих случаях, если пары электронных спинов из соседних цепочек a и b находятся в триплетном состоянии, то и ядерные спины тоже будут в триплетном состоянии. Переход пары электронных спинов a и b из триплетного в синглетное состояние будет сопровождаться переходом ядерных спинов из триплетного состояния с ma + mb = 1 в синглетное состояние с ma + mb = 0.

Паре электронов в синглетном состоянии энергетически более выгодным может оказаться быть на одном донорном атоме, и тогда это приведет к разрушению антиферромагнитного порядка в цепочках. Предполагается, что этот процесс может детектироваться более простым резонансным способом по сравнению с высокочувствительными одноэлектронными методами.

Приведены результаты исследования проблем реализации предложенного полупроводникового ЯМР квантового компьютера с полосковыми затворами (случай 1).

Для того, чтобы сигнал ЯМР не зависел от числа кубитов L квантового регистра (в отличие от жидкостных ЯМР ансамблевых квантовых компьютеров) необходимо, чтобы спиновая температура ядерных спинов-кубитов была порядка 1 мК. Благодаря исключительно большим временам продольной электронной и ядерной спиновой релаксации для легированного фосфором кремния уже при температурах ~ 1 К оказывается возможным получение достаточно долгоживущего инициализированного состояния системы ядерных спинов-кубитов в ансамблевом ЯМР квантовом компьютере при общей рабочей температуре порядка 0,1 К. Показано, что состояние, характеризующееся требуемой низкой спиновой температурой, может быть получено при использовании динамической спиновой поляризации ядерных спинов путем насыщения запрещенного перехода (солид-эффект Абрагама). Приведена оценка необходимой для этого СВЧ мощности.

Предложен вариант планарной схемы, которая представляет собой np параллельно работающих блоков, каждый из которых содержит N0 параллельно соединенных L–кубитовых линейных «молекул» Кейна [21]. Полное число «молекул» в ансамбле N = npN0, где n и p — числа блоков, укладывающихся в двух перпендикулярных направлениях.

Выходной сигнал от ансамбля параллельно работающих «молекул» будет пропорционален числу N., но в отличие от жидкостных прототипов, при спиновых температурах TI~ 10–3K он не содержит множителя, экспоненциально уменьшающегося с числом кубитов L.

Получено выражение для отношения сигнал-шум

(S/N~  (Q/Vs)1/2· N·10–10,
где эффективный полный объем ансамбля N молекул Vs ~ N·Dl xlyL (в см3). Например, для толщины полупроводникового слоя D =1 мм, lx = 20 нм, ly = 50 нм, числа кубитов в «молекуле» L = 1000 и добротности резонансного контура при низких температурах Q= 106 сигнал ЯМР будет превышать шумовой сигнал при полном числе молекул N> 105.

Для оценки чисел n и p был рассмотрен кристалл квадратной формы, у которого число донорных атомов во всех блоках в направлении осей y и x одинаково: 50N0p = 20·1000n, и N0= 100. В результате получено, что n » 16, » 63 и полная площадь такой структуры составляет ~ 400×400 мкм2, то есть оказывается достаточно малой для того, чтобы эта структура могла быть размещена в зазоре магнита стандартного ЯМР спектрометра.

Следовательно, становится возможным использование стандартной ЯМР техники для считывания информации, что существенно упрощает этот процесс и не требует высокочувствительных одно-спиновых измерительных устройств, рассматриваемых в вариантах Кейна.

Основной недостаток рассмотренного ансамблевого варианта связан с наличием системы затворов, флуктуации напряжения на которых являются, как и модели Кейна, одним из дополнительных механизмов декогерентизации квантовых состояний. Кроме того, наличие затворов может влиять на интенсивность и форму радиочастотных импульсов, вызывать дополнительный сдвиг резонансных частот и тем самым снижать точность выполнения логических операций. Все это требует разработки соответствующих мер. Наконец, для реализации рассматриваемой структуры из полосковых затворов по-прежнему требуется нанотехнология высокого уровня с разрешением порядка 1 нм

Отмечается, что селективность ядерных резонансных частот в ансамбле цепочек Кейна может быть достигнута также без использования затворов типа A, путем наложения градиента внешнего поля вдоль оси x. Для расстояния между кубитами ~ 20 нм потребуется доступное значение градиента dBz/dx ~ 1 Тл/см, который будет определять достаточное различие частот соседних кубитов ~ 100 Гц.

В работе рассмотрены два основных механизма, ответственных за адиабатическую декогерентизацию квантовых состояний в полупроводниковом ЯМР квантовом компьютере:

1. Декогерентизация за счет модуляции ядерных резонансных частот Dw(t), определяемой секулярной частью сверхтонкого взаимодействия в донорном атоме 31Р. В этом случае

Dw(t) = A(t ) Sz(t) – A0бSzс,
где A(t) = A0DA(t), A0= 725 рад МГц, DA(t) — модуляция постоянной сверхтонкого взаимодействия. Для малой величины амплитуды модуляции DA(t):
Dw(t)= DwS (t)+ Dwb(t)= A0 (Sz(t)– бSzс)+DA(t) бSzс .

Модуляция, обусловленная флуктуациями потенциала на затворе A (внешний механизм декогерентизации) исследовалась в [31].

В качестве одного из внутренних механизмов нами рассмотрена модуляция постоянной сверхтонкой структуры DA(t) за счет комбинационных (рамановских) процессов двухфононного упругого рассеяния, не сопровождающиеся переворотом спина. Было показано, что определяемая этими процессами скорость декогерентизации при низких температурах представляется выражением 1/TD~ 0,7·104(T/Q)7 c–1, где Q= 625 К — температура Дебая для кремния.

Поскольку время декогерентизации TD при тактовой частоте в ЯМР квантовых компьютеров ~ 1051/c не должно превышать нескольких секунд, то рассмотренный внутренний фононный механизм не играет никакой роли.

Существенным внутренним механизмом является взаимодействие ядерных спинов с флуктуациями поляризации электронных спинов собственных донорных атомов [32]. В этом случае корреляционная функция для модуляции резонансной частоты DwS(t) зависит от электронной резонансной частоты wS = gBB, от продольного t1 (часы) и поперечного t2 времен релаксации. В адиабатическом случае wS > 1/t1 >> 1/t2 функция памяти имеет вид

fS(t)=бDwS(t)DwS(0)с = бDwS2с exp(–t/t1)
и, соответственно, для декремента декогерентизации получаем
,
где бDwS2с = A02(бSz2сбSzс2) = A02(1 – th2wS/kT)), T — температура решетки.

Здесь величина 1 – th2wS/kT) может рассматриваться как эффективное относительное сокращение квадрата проекции электронного спина, обусловленное взаимодействием с флуктуирующим электронным спином. Для t1 » 104с и t ~ TD ~ 1 c, 1 <<  < (t1/TD)2, и для характерного времени декогерентизации оценка получается из соотношения..

При температурах решетки для времени декогерентизации имеем условие . Получено, что необходимое подавление декогерентизации будет достигнуто при достаточно больших значениях отношения B/> 30 Тл/К, что соответствует при B = 2 Тл температурам решетки T < 0,06 К.

2. Декогерентизация за счет модуляции ядерных резонансных частот Dw(t), определяемая флуктуирующей секулярной частью взаимодействие с ядерными спинами случайно распределенных примесных атомов, какими являются, в частности, атомы изотопов 29Si с практически полностью поляризованными электронными спинами.

В этом случае выражение для функции корреляции или памяти принимает вид

= ,
где T||,imp — продольное время релаксации ядерных спинов примесных атомов,
= ,
a — минимальное расстояние до примесного ядерного спина, порядка постоянной решетки. Для кремния a–3 » 5.1022 см–3, m0/4p= 0,1 Тл2см3/Дж, gI = 108 радМГц/Тл — гиромагнитное отношение ядерного спина изотопа 31P, gI,imp = – 53 радМГц/Тл — гиромагнитное отношение ядерного спина изотопа 29Si.

Из требования для времени декогерентизации TD > 1 c, для определения допустимой концентрации изотопов 29Si при T||,imp ~ 104 с >> TD следует условие . Если спиновая температура TI для ядерных спинов примесных изотопов соответствует значению, при которой имеет место почти полная их поляризация, то есть если >1, или TI < 0,8 мK, то для допустимой концентрации изотопов 29Si в кремнии получается оценка CI,imp% < 4,5.10–2% (в естественном кремнии она составляет 4,7%).

В разделе 2.9 представлена предложенная нами схема многокубитового ЯМР ансамблевого квантового клеточного автомата на основе антиферромагнитной структуры, которая позволяет отказаться от сложной системы полосковых затворов [2,33,34]. Простейшим примером элемента ансамбля может быть та же цепочка донорных атомов 31P, что и в схеме Кейна, но без затворов A и B, в которой основные электронные состояния всех соседних доноров перекрываются. При расстояниях между атомами lx < 20 нм и в полях B < 3 Тл электронные спины в основном состоянии благодаря обменному взаимодействию будут иметь антиферромагнитный порядок с двумя магнитными подрешетками A и B. В магнитных полях B Ј A/(2gI~ 3 Тл и при температурах T ~ 10–3 К ядерные спины атомов в каждой из подрешеток будут ориентироваться с соответствии с ориентацией электронных спинов и образовывать в основном состоянии периодическую структуру типа ABAB…: ­ Ї ­ Ї … , где |­с обозначает инициализированное состояние ядерного спина в положении A, а |Їс — состояние ядерного спина в положении B.

Электронные спины S :
Ядерные спины I :

Каждый ядерный спин в состоянии A и B в этой схеме, помимо основного состояния, имеет, соответственно, долгоживущее возбужденное |Яс и |Эс.

Ядерные резонансные частоты wA,B соседних ядерных спинов в цепочке ABAB… зависят от магнитных квантовых чисел соседних ядерных спинов слева m< и справа m>: wA,B(m< + m>) » Ѕ-gIB ± A/2 – II(m< + m >)Ѕ , где II — постоянная секулярной части косвенного ядерного спин-спинового взаимодействия. Различие резонансных частот спинов-кубитов с разной ориентацией соседних ядерных спинов составляет DwI/2 p  ~ II  ~ 10 кГц, при резонансной частоте gIB/2p  ~ 120 МГц.

Каждый логический кубит информации в рассматриваемом квантовом автомате представляется состояниями четырех спинов-кубитов. Основное состояние логического кубита "0" — ячейкой |Я Э ↑ ↓с, тогда как состояние "1" — ячейкой | ↑ ↓ Э Яс. Оба состояния содержат два возбужденных состояния и имеют нулевую проекцию полного ядерного спина.

Ввод и вывод информации из цепочки ядерных спинов должен производиться через порт, в качестве которого может быть, например, атом на конце цепочки, где ядерный спин имеет только один соседний спин и поэтому имеет другую резонансную частоту.

Селективный резонансный радиочастотный pA(m<+m> = –1/2) є  pA,–1/2 — импульс будет инвертировать только этот один ядерный спин на конце цепочки (например, в положении A), не влияя на все другие. Новый селективный радиочастотный pB,0 - импульс инвертирует следующий ядерный спин (в положении B), с противоположными ориентациями соседних ядерных спинов (m< + m> = 0) и, соответственно, с другой резонансной частотой, отличной от частоты спинов, соседние ядерные спины которых в это время находятся в одинаковых состояниях (m< + m> =  ±1). В результате действия операций обмена (SWAP), осуществляемых определенной последовательности p–импульсов в соответствующих местах квантового регистра формируются состояния логических кубитов.

В работе подробно рассмотрены принципы организации логических операций над состояниями логических кубитов в ЯМР клеточном квантовом автомате. Показано, что однокубитовая операция требует последовательности из семнадцати элементарных p–импульсов, а двухкубитовая операция более длительной последовательности. Обсуждаются возможности использования двухмерных и трехмерных структур, а также ансамблевого подхода.

Предлагается также альтернативный вариант ЯМР клеточного квантового автомата с несимметричным взаимодействием ядерного спина с соседними спинами на органических кристаллах, состоящих из слабо взаимодействующих между собой квазиодномерных цепочек (например, цепочки полиацетилена) с антиферромагнитным упорядочением электронных спинов. Особенностью таких структур является несимметрия косвенного взаимодействия отдельного ядерного спина с правым II< и левым II> соседним спином (одинарные и двойные химические связи).

Организация квантовых вычислений существенно упрощается, если воспользоваться схемой, рассмотренной в [35] и производить попеременное выключение и включение правых (A-B) и левых (B-A) взаимодействий одновременно у всех кубитов цепочки. В результате в системе образуется либо фаза б, либо фаза в из одинаково взаимодействующих A-B или B-A пар. Такая схема позволяет значительно уменьшить число резонансных импульсов по сравнению с рассмотренным выше случаем. Для выполнения однокубитовых операций, например, теперь достаточно шести импульсов. Усложнение здесь связано с необходимостью переключения левых и правых взаимодействий. В качестве способа таких переключений взаимодействий мы предлагаем, в отличие от схемы [35], воспользоваться методом насыщения резонанса запрещенных при идеальном изотропном гайзенберговском взаимодействии переходов между запутанными состояниями соответствующих пар ядерных спинов |0, 0сsqrt(1/2) (|↑↓с– |↓↑с)с, и |1, 0сsqrt(1/2) (|↑↓с+ |↓↑с), разделенными, соответственно энергиями II< или II>.

Еще один вариант ЯМР клеточного квантового автомата на линейных цепочках типа ABAB… из двух типов чередующихся эндоэдрально легированных изотопами 15N и 31P фуллеренов C60, имеющими ядерный спин I = 1/2, недавно предложен Дж.Твамли [36]. Эндоатомы располагаются в геометрическом центре клетки фуллерена, их основное электронное состояние является квартетом S = 3/2. Они хорошо экранированы от внешних электрических полей. Предполагается разместить такие молекулы на поверхности кремния (100) вплотную к друг другу (расстояние между атомами ~ 1нм). Электронные волновые функции сильно сжаты внутри клеток C60 и поэтому электронное обменное взаимодействие между эндоатомами отсутствует. Очень резкие ЭПР спектры этих молекул показывают, что продольные времена релаксации при T ~7K составляют ~ 1 с, а поперечные ~ 20 мкс. При хорошей очистке кремния от 29 изотопа поперечное ядерное время релаксации приближается к 1 c. Можно ожидать, что в условиях низких спиновых температур это время будет значительно больше.

Преимущество рассматриваемого варианта клеточного автомата состоит в том, что выходной сигнал можно выразить через состояния электронных спинов. Поэтому считываемый сигнал будет в ~ 1000 раз интенсивнее, чем от состояний ядерных спинов. Для измерения состояний отдельных кубитов при индивидуальном подходе предлагаются различные высокочувствительные методы [36].

При наличии несомненных преимуществ варианта квантового клеточного автомата на фуллеренах он не свободен от недостатков, в частности:

а) Организация отдельных вычислительных операций требует большого числа селективных радиочастотных и СВЧ резонансных импульсов.

б) Использование гетероядерной структуры с двумя типами содержащих ядерные спины эндоатомов 15N и 31P, из которых 15N в отличие от 31P имеет распространенность в природе 0,366 %, а бесспиновый изотоп 12C имеет распространенность 98,9 %, может привести к процессам декогерентизации ядерных спиновых состояний, поэтому требует очистки от материалов от нежелательных изотопов.

в) Наличие отличной от нуля полной намагниченности электронных и ядерных спинов инициализированного состояния приводит к чувствительности всей системы к внешним магнитным полям и граничным условиям и появлению неконтролируемых фазовых множителей.

г) Однако, к главному недостатку следует отнести предполагаемое индивидуальное обращение к кубитам, играющих роль портов, через которые вводится и выводится информация.

Для преодоления последних трех трудностей представляется более перспективным попытаться перейти к такой гомоядерной схеме, когда все фуллерены содержат только атомы фосфора, а диполь-дипольное взаимодействие между электронными спинами способно обеспечить антиферромагнитное упорядочение электронных спинов. Резонансные частоты ядерных спинов эндоатомов тогда будут чередоваться в соответствии с ориентацией электронных спинов. В такой системе возможно использование и ансамблевого подхода.

Последний раздел 2.10 посвящен ЯМР ансамблевым квантовым автоматам на естественных антиферромагнитных кристаллах и начинается с рассмотрения полного спинового гамильтониана.

Предполагается, что электроны проводимости и примесные магнитные атомы без ядерных спинов отсутствуют и структура имеет одноосную симметрию с легкой осью антиферромагнетизма, параллельной внешнему полю и две подрешетки A и B (по L спинов в каждой). Спиновый гамильтониан системы с одноосной симметрией имеет вид (символ прямого произведения Ä опущен):

HS =  wS· + ,
где J > 0, 0 Ј J –  J^ = JA — постоянная анизотропии, d — номера соседних Z атомов.

Диагонализация гамильтониана в условиях низких температур в приближении спиновых волн с помощью преобразования Боголюбова-Тябликова [37] дает

где E±(q,B) = E(q,0) ± wS > 0 , , и для простой тетрагональной решетки =  (cosqx+ cosqy+ cosqzc)/3, Z= 6. Операторы чисел заполнения спин-волновых (магнонных) состояний N±(q) имеют собственные значения 0 и 1, а их средние значения бN±(q)с = (exp(E±(q,B)/T) – 1)–1<< 1.

Важно отметить здесь, что энергетический спектр спиновых волн антиферромагнетиков с легкой осью анизотропии (J – J^ = JA > 0 ) в достаточно слабых полях B имеет щель E±(0,B) =  .

Среднее значение проекции электронного спина подрешетки A антиферромагнетика типа легкой оси (аналогично и для подрешетки B) определяется выражением [37]

бSAz с = 1/2 – бnA с =

Показано, что сокращение проекции электронного спина в анизотропном антиферромагнетике из-за тепловых спиновых флуктуаций при низких температурах T << E(0,B) оказывается исключительно малым

>0,
а квантовое сокращение электронного спина, определяемое квантовыми спиновыми флуктуациями, лежит в пределах 0(для J^ = 0) < y < 0,078. Для сильно анизотропных антиферромагнетиков квантовое сокращение проекции спина также можно не учитывать.

Косвенное взаимодействие между ядерными спинами при низких температурах осуществляется в основном через спиновые волны (сул-накамуровское взаимодействие). Для одноосного кристалла оно имеет место, только между поперечными составляющими ядерных спинов [38], то есть является несекулярной и не влияет на адиабатическую декогерентизацию.

Выполненный нами учет диполь-дипольного взаимодействия ядерных магнитных моментов с электронными спинами соседних атомов приводит к появлению также и секулярных составляющих косвенного взаимодействия между ядерными спинами. В результате для модельного гамильтониана получено выражение

HI =
,
где
,
,
,
.

Здесь учтены только отличные от нуля недиагональные элементы диполь-дипольного взаимодействия ядерных спинов с электронными спинами соседних атомов, содержащие параметры = j, где углы qd и jd определяют направление вектора ri,i+dr d, A|| и A^ — продольная и поперечная составляющие тензора сверхтонкого взаимодействия.

Последнее слагаемое в HI представляет собой «обменное» взаимодействие между ядерными спинами. Оно имеет ферромагнитный характер (параметр отрицателен) и само по себе не препятствует инициализации состояний ядерных спинов.

Важно отметить, что, как следует из полученного выражения, при определенном соотношении между параметрами J и J^J, разность Ii,j – 2Ci,j и соответствующее «псевдодипольное» взаимодействие (предпоследнее слагаемое в HI) может быть сделано сколь угодно малыми.

Для линейной цепочки с антиферромагнитным упорядочением(при b >> d) получаем

,
то есть с точностью до обозначений, значения резонансных частот совпадают с уже использовавшимся выше.

Процессы релаксации квантовых состояний ядерных спинов в антиферромагнетика при низких температурах определяется с одной стороны активной ролью электронных спин-волновых процессов [38-40]. Время продольной релаксации ядерных спинов в этом случае очень велико, поскольку из-за большой разности энергий ядерных переходов и антиферромагнонов одно-магнонные диссипативные процессы запрещены законом сохранения энергии.

Поперечное время релаксации T2 для ЯМР антиферромагнетике определяется действием флуктуационных локальных полей, приводящих к упругим комбинационным процессам рассеяния электронных спиновых волн на отдельных ядерных спинах (адиабатическая декогерентизация). Эту часть поперечной скорости релаксации для температур T << E(0,B) найдем с помощью известного выражения, полученного Т.Мори [38], которое перепишем в виде

1/T2 ~ (A^2/J) (T/ J)3 (E(0,B)/T) exp(–E(0,B)/T) .

Оно содержит тот же экспоненциальный множитель, что у теплового сокращения проекции электронного спина. Из него следует, что величина T2 в одноосном антиферромагнетике с уменьшением температуры экспоненциально быстро растет.

С другой стороны, ядерные косвенные спин-спиновые взаимодействия в естественном антиферромагнетике приводят к уширению резонансных линий, которое выражается через второй момент резонансной линии M2. Если учитывать только сул-накамуровское взаимодействие, то для антиферромагнетика типа легкая ось в наших обозначениях имеем [38]

,
откуда для J ~ J^ ~ 1013 радГц, A^ ~ 108 радГц, получим оценку ~100 рад Гц . Характерное поперечное время релаксации, определяемое этим механизмом, составит 10–2 с, что является слишком малым. Однако второй момент, как известно, определяется «псевдодипольным» гамильтонианом взаимодействия с нулевым следом, а в сильных полях только его секулярной частью. При определенных соотношениях между J и J^J ее вклад во второй момент, как указано выше, может стать достаточно малым.

Полученные выше результаты позволяют сформулировать основные общие требования предъявляемым к естественным антиферромагнитным структурам, которые могут быть использованы для создания ЯМР ансамблевых квантовых клеточных автоматов:

  1. Рабочая температура T антиферромагнитной структуры должна соответствовать полностью упорядоченному антиферромагнетику. Из требования к времени декогерентизации ядерных квантовых состояний в электрон-ядерной структуре следует, что рабочая температура Т должна быть меньше 0,1 К. При этом для инициализации состояний ядерных спинов необходимо иметь для ядерных спинов спиновую температуру TI Ј 10­3 K.
  2. Стабильные изотопы должны иметь ядерные спины I = 1/2 и желательно 100% распространенность в Природе. Например, ими могут быть редкоземельные соединения стабильного изотопа тулия 169Tm, который имеет ядерный спин I = 1/2, gI = –21,8 радМГц/Тл и 100% относительную распространенность в природе. К таким соединениями можно отнести: Tm2O3, TmSi2, TmGe2, TmSe. В этих соединениях естественные стабильные элементы O, Si, Ge и Se имеют, соответственно, изотопы, содержащие ядерные спины (в скобках приведена их распространенность) 17O I = 5/2 (0.04%), 29Si I = 1/2 (4.7%), 73Ge I = 9/2 (7.76%), 77Se I = 1/2 (7.78%), от которых потребуется очистка. В качестве вариантов систем могут рассматриваться некоторые соединения изотопов 19F, 31P со 100% распространенностью.
  3. Для организации квантовых операций в двух и трехмерном ЯМР ансамблевом клеточном автомате наиболее предпочтительными представляются коллинеарные антиферромагнитные структуры шахматного типа, описываемые двумя магнитными подрешетками.
  4. Для обеспечения больших поперечных времен ядерной релаксации при низких температурах следует использовать одноосный (ромбоэдрический, тетрагональный или гексагональный) кристалл с легкой осью антиферромагнетизма.

Вариант квантового клеточного автомата на антиферромагнитных кристаллах имеет целый ряд преимуществ:

  1. Если удастся подобрать соответствующий естественный антиферромагнитный материал, то исключается необходимость в высокоточной нанотехнологии.
  2. При температурах порядка 0,1 К, которые обычно много меньше температур фазового перехода в антиферромагнитное состояние, для поляризации электронных спинов не потребуются сильные внешние магнитные поля.
  3. Для инициализации большого ансамбля ядерных спинов могут быть использованы динамические методы поляризации ядерных спинов.
  4. Способ кодирования логических состояний на нескольких физических спинах-кубитах обеспечивает более высокую помехоустойчивость по отношению к случайным генерациям ошибочных кубитов.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ приводятся основные результаты, полученные в ходе проведенных исследований и выводы. Они сводятся к следующему.

В первой главе:

  1. Получено обобщение уравнения Блоха на случай сильных переменных магнитных полей при не различных значениях поперечного и продольного времен релаксации, а также на случай немарковского характера случайных воздействий со стороны окружения.
  2. Выполнен анализ квантовых состояний двухкубитового ансамбля и сформулированы условия, при которых возможна полная инициализация состояний кубитов. Показано, что произвольное квантовое состояние не может быть преобразовано в квазичистое инициализированное состояние с помощью известных операций.
  3. Выполнен анализ особенностей релаксационных процессов в многокубитовых системах с учетом парных запутанных состояний кубитов. Указан способ обобщения уравнения Линдблада на случай двухкубитового ансамбля с отличными от нуля равновесными значениями динамических параметров и сильных внешних полей, а также на случай немарковского характера случайных воздействий на спины.
  4. Рассмотрены инвариантные относительно выбранного представления матрицы плотности способы описания процессов декогерентизации состояний многокубитовых систем в твердых телах. Продемонстрированы возможности полуклассической адиабатической модели декогерентизации однокубитового и двухкубитового состояния.
  5. Показана неудовлетворительность широко известной точно решаемой адиабатической однобозонной квантовой модели декогерентизации однокубитового ансамбля. Предложена новая квантовая двухбозонная модель адиабатической декогерентизации состояний кубитов в твердом теле, свободная от недостатков однобозонной модели, и выполнен ее анализ.
  6. Предложена адиабатическая квантовая модель декогерентизации ядерных спинов за счет взаимодействия с магнитными моментами случайно распределенных примесный атомов.
  7. Проведен анализ трудностей алгоритма факторизации Шора, основанного на квантовом фурье-преобразовании и предложен альтернативный вариант алгоритма, использующий вейвлет-преобразование.

Во второй главе:

  1. В результате анализа общих требований, выполнение которых необходимо для построения полномасштабного квантового компьютера сделан вывод о перспективности разработки твердотельных ЯМР ансамблевых вариантов, работающих, при достаточно низких спиновых температурах.
  2. Показано, что трудности в реализации полномасштабных квантовых компьютеров, связанные с появлением в процессе инициализации и выполнения логических операций суперпозиций основных состояний с неконтролируемыми фазовыми множителями, преодолеваются в случае использования ансамблевых квантовых регистров.
  3. Показано, что трудность, связанная с увеличением вероятности вычислительной ошибки для состояний квантового регистра, представляющих высшие разряды, может быть преодолена путем использования метода связанного кодирования.
  4. Дан анализ схемы полномасштабного ЯМР квантового компьютера с индивидуальным обращением к кубитам, предложенного Б.Кейном и сформулированы ее трудности. Исследован эффект усиления сигнала ЯМР и показано, что он позволяет снизить мощность радиочастотных импульсов и при той же мощности импульсов уменьшить их длительность.
  5. Проведен детальный анализ сверхтонкой структуры энергетического спектра электрон-ядерной системы из двух соседних донорных атомов 31P. Показано, что помимо предложенной Кейном для организации квантовых операций и измерения состояния кубита пары антипересекающихся уровней, может быть использована другая пара антипересекающихся уровней. Ее преимущество заключается в возможности детектировать изменение состояний ядерных спинов резонансным методами, что имеет особенное значение при использовании ансамблевого метода обращения к спинам-кубитам.
  6. Показано, что для обеспечения необходимой точности выполнения квантовых операций следует выполнить достаточно жесткие требования к геометрическим параметрам наноструктуры (ошибки в размерах затворов, положениях донорных атомов и т.д. не должны превышать 1 нм). Отмечено также, что трудность управления кубитами, связанная с нерегулярным осциллирующим характером зависимости постоянной взаимодействия электронных спинов от расстояния между донорными атомами, может быть преодолена в предлагаемом ансамблевом квантовом регистре.
  7. Проанализированы известные варианты многокубитовых ЯМР ансамблевых квантовых компьютеров и предложен и новый вариант кремневого ЯМР ансамблевого квантового компьютера с полосковыми затворами, позволяющий преодолеть ряд основных трудностей схемы Кейна.
  8. Показано, что для инициализации спиновых состояний или необходимого первоначального охлаждения ядерной спиновой системы до спиновых температур менее 1 мК, при сохранении температуры решетки в пределах 0,1 К могут быть использованы методы динамической поляризации типа солид-эффекта.
  9. Анализ отношения ЯМР сигнала к шуму для предложенной планарной структуры кремниевого ЯМР ансамблевого компьютера показал возможность детектировать сигнал с помощью стандартной техники ЯМР или ENDOR-техники при числе элементов ансамбля N ~ 106.
  10. Показано, что к основным механизмам декогерентизации квантовых состояний в кремниевых ансамблевых квантовых регистрах следует отнести адиабатические процессы модуляции резонансной частоты, обусловленные флуктуирующими сверхтонкими полями, а также взаимодействиями с ядерными спинами примесный диамагнитных атомов. В результате для обеспечения необходимого уровня подавления декогерентизации получено условие B/T>30Тл/К и предельное значение концентрации примесный атомов.
  11. Предложена модель ЯМР ансамблевого квантового клеточного автомата и дана схема вводы и вывода информации, а также схемы выполнения однокубитовых и двухкубитовых квантовых операций. К преимуществам такого автомата можно отнести:
    • Глобальное обращение ко всем элементам цепочки кубитов с двумя резонансными частотами позволяет исключить многочисленные металлические шины, затворы и многочастотные генераторы импульсов, требуемые для локального управления кубитами. В результате существенно упрощается конструкция квантового регистра и исчезает механизм декогерентизации, связанный с электрическими шумами.
    • Сложности, связанные аппаратным обеспечением компьютера, в значительной степени переносится на программное обеспечение квантового клеточного автомата.
    • Квантовые клеточные автоматы возможно способны выполнять программы, которые не доступны обычным квантовым схемам.
    • Важным свойством является возможность запараллелить квантовые вычислительные операции при использовании ансамблевого подхода, что может также существенно упростить и считывание информации.
  12. Получено обобщенное выражение для гамильтониана системы ядерных спинов в антиферромагнетике с одноосной симметрией типа легкой оси, учитывающее их косвенное взаимодействие через спин-волновые состояния электронных спинов с учетом как сверхтонкого, так и диполь-дипольнного взаимодействия с электронными спинами соседних атомов.
  13. Предложена схема ансамблевого ЯМР квантового клеточного автомата на антиферромагнитной структуре.
  14. Сформулированы основные требования к естественным антиферромагнитным кристаллам, предназначенным для использования в качестве среды, содержащей ядерные спины-кубиты, для ЯМР ансамблевого клеточного автомата.
  15. На основе теоретических исследований показаны преимущества предложенного ансамблевого подхода при решении основных проблем, стоящих на пути реализации полномасштабных ЯМР квантовых компьютеров. Полученные результаты позволяют сформулировать необходимые при проектировании и реализации конкретных схем полномасштабных ансамблевых ЯМР квантовых компьютеров технические и технологические требования. Разработанные в результате теоретических исследований многокубитовых квантовых регистров модели процессов инициализации и декогерентизации квантовых состояний, могут быть положены в основу общих методов моделирования многокубитовых квантовых компьютеров. Рассмотренная схема многокубитового ЯМР ансамблевого квантового клеточного автомата открывает возможности использования для их создания как искусственных, так и естественных антиферромагнитных структур.

Цитированная в автореферате литература:

 1. Nielsen M.A., Chuang I.I. Quantum Computation and Quantum Information. — Cambridge: Univ. Press, 2000, 676 p.

 2. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность, 2-ое изд. — Москва-Ижевск : НИЦ РХД, 2002, 320 с.

 3. Jones J.A. NMR Quantum Computation: a Critical Evaluation // 2000, Fortschr. der Phys., 2000, v.48, № 9–11, pp.909–924.

 4. Vandersypen L.M.K. Experimental Quantum Computation with Nuclear Spins in Liquid Solution. Dissertation. // 2002, LANL E-print arXiv:quant-ph/0205193.

 5. DiVincenzo D.P. The Physical Implementation of Quantum Computation. // Fortschr. der Phys., 2000, v.48, № 9-11, pp.771–783.

 6. Steane A.M. Overhead and Noise Threshold of Fault-Tolerant Quantum Error Correction. // 2002, LANL E-print arXiv:quant-ph/0207119.

 7. Kane B.E. A silicon-based nuclear spin quantum computer. // Nature, 1998, v.393, N.5, pp.133–137.

 8. O'Brien J.L., Schofield S.R., Simmons M.Y., Clark R.G., Dzurak A.S., Curson N.J., Kane B.E., McAlpine N.S., Hawley M.E., Brown G.W. Towards the Fabrication of Phosphorus Qubits for a Silicon Quantum Computer. // Phys. Rev. 2001, v.B64, pp.161401-1–161401-5.

 9. Buehler T.M., McKinnon R.P., Lumpkin N.T., Brenner R., Reilly D.J., Macks L.D., Hamilton A.R., Dzurak A.S. Clark R.G. Self-Aligned Fabrication Process for Quantum Computer Devices. // LANL E-print, 2002, cond-mat/0208374.

10. Кокин А.А. Квантовая теория электронного и ядерного парамагнитного резонанса и релаксации в слабых переменных полях. Кандидатская диссертация. Свердловск. УрГУ, 1961, 179с.

11. Кокин А.А. Применение преобразования Лапласа в теории магнитного резонанса и релаксации. // Труды Уральского политехнического института, «Магнитный резонанс и релаксация», 1961, Сборник 111, с.16–23.

12. Кокин А.А., Мороча А.К. Уравнения Блоха, область их применимости и возможные обобщения. // Всесоюзн. симпозиум. «Применение ЯМР и ЯКР в физике и химии твердого тела». Тезисы доклада. Владивосток, 1968, с.7–9.

13. Lado F., Memory J.D., Parker G.W. General Approach to the Line-Shape Problem in Nuclear-Magnetic-Resonance Spectra. // Phys. Rev., 1971, v.B4, №5, pp.1406–1422.

14. Palma G.M., Suominen K.-A., Ekert A.K. Quantum Computers and Dissipation. // Proc. Roy. Soc., Lond., 1996, v.A452, pp.567.

15. Mozyrsky D., Privman V. Adiabatic Decoherence. // Jour. Stat. Phys., 1998, v.91, №.3/4, pp.787–799.

16. Saito A., Rioi R., Akagi Y., Hashizume N., Ohta K. Actual Computational Time-Cost of the Quantum Fourier Transform in a Quantum Computer Using Nuclear Spins // 2000, LANL E-print quant-ph/0001113.

17. Кокин А.А., Скроцкий Г.В. Теория парамагнитного резонанса в системах, содержащих два сорта магнитных момента. // ЖЭТФ, 1959, т.37, вып.2(8), с.482-489.

18. Кокин А.А. Магнитный резонанс в системах, обладающих одновременно электронным и ядерным парамагнетизмом. // Изв. ВУЗ, 1960, №4, с.198-205.

19. Kak S. General Qubit Errors Cannot Be Corrected. // E-print LANL, 2002, arXiv:quant-ph/0206144.

20. Dyakonov M.I. Quantum computing: A View from the Enemy Camp. // E-print LANL, 2001, arXiv:cond-mat/0110326.

21. Kokin A.A., Valiev K.A. Problems in Realization of Large-Scale Ensemble Silicon-Based NMR Quantum Computers. // Quantum Computers & Computing, 2002, v.3, N.1, pp.25–45.; LANL E-print quant-ph/0201083.

22. Валиев К.А., Кокин А.А. Полупроводниковые ЯМР квантовые компьютеры с индивидуальным и ансамблевым обращением к кубитам. // Микроэлектроника, 1999, т.28, №5, с.325–336.

23. Валиев К.А., Кокин А.А., Ларионов А.А., Федичкин Л.Е. Сверхтонкая структура энергетического спектра донорных атомов 31P в кремниевом ЯМР квантовом компьютере. // Микроэлектроника, 2000, т.29, №5, с.323–332.

24. Larionov A.A., Fedichkin L.E., Kokin A.A., Valiev K. A. The Nuclear Magnetic Resonance Spectrum of 31P Donors in a Silicon Quantum Computer. // Nanotechnology, 2000, v.11, N.4, Spec. Issue, pp.392–396.

25. Koiller B., Hu X., Das Sarma S. Strain Effects on Silicon Donor Exchange: Quantum Computer Architecture Considerations. // E-print LANL, 2001, arXiv:quant-ph/0112078.

26. Privman V., Vagner I.D., Kventsel G. Quantum Computation in Quantum-Hall Systems. // Phys. Lett., 1998, v.A239, 2 March, pp.141–146.

27. Ladd T.D., Goldman J.R., Dâna A., Yamaguchi F., Yamamoto Y., Abe E., Itoh R.M. An All Silicon Quantum Computer. // E-print LANL, 2001, arXiv:quant-ph/0109039; Phys.Rev.Lett., 2002, v.89, pp.017901.

28. Fel’lman E.B., Lacelle S. Perspectives on a Solid State NMR Quantum Computer // E-print LANL, 2001, arXiv:quant-ph/0108106.

29. Lloyd S., A Potentially Realizable Quantum Computer, Science, 1993, vol. 261, pp.1569–1571.

30. Benjamin S.C. Schemes for Parallel Quantum Computation Without Local Control of Qubits // Phys.Rev., 2000, v.A61, pp.020301(R).

31. Wellard C.J., Hollenberg L.C.L. Stochastic Noise as Source of Decoherence in a Solid State Quantum Computer // E-print LANL, 2001, arXiv:quant-ph/0104055.

32. Kokin A.A. Decoherence of Quantum States and Its Suppression in Ensemble Large-Scale Solid State NMR Quantum Computers. // Тезисы доклада, Международный симпозиум «Quantum Informatics» QI­2002, Звенигород, 2002, Proceeding. of SPIE 2003., // E-print LANL, 2002, arXiv:quant-ph/0211096.

33. Kokin A.A. A Model for NMR Quantum Cellular Automata Using Antiferromagnetic Structure. // Quantum Computers & Computing, 2001, v.2, N.1, pp.54–67.

34. Kokin A.A. An Antiferromagnet-Based NMR Quantum Computer. // Phys. Metal. Metallogr., 2001, v.91, Suppl.1, pp.S150–S156.

35. Benjamin S.C. Quantum Computing Without Local Control of Qubit-Qubit Interactions. // Phys. Rev. Lett., 2002, v.88, № 1, pp.017904-1–017904-4.

36. Twamley J. Quantum Cellular Automata Quantum Computing with Endohedral Fullerenes. // E-print LANL, 2002, arXiv:quant-ph/0210202.

37. Тябликов С.В. Методы квантовой теории магнетизма. – М.: Наука, 1975, 528с.

38. Туров Е.А., Петров М.А. Ядерный магнитный резонанс в ферро- и антиферромагнетиках. — М.: Наука 1969, 260с.

39. Куркин М.И., Туров Е.А. ЯМР в магнито-упорядоченных веществах и его применение. — М.: Наука, 1990, 246с.

40. Куркин М.И., Иванов С.В., Куневич А.В. Ядерная магнитная релаксация в магнитеоупорядоченных веществах. // Препринт, ИФМ УНЦ АН СССР, — Свердловск, 1984, с.45.

Список работ автора по теме диссертации:

  1. Скроцкий Г.В., Кокин А.А. Система магнитных моментов в слабом переменном магнитном поле. // ЖЭТФ, 1959, т.36, вып. 1, с.169–175.
  2. Кокин А.А., Скроцкий Г.В. Теория парамагнитного резонанса в системах, содержащих два сорта магнитных момента. // ЖЭТФ, 1959, т.37, вып.2(8), с.482–489.
  3. Кокин А.А., Рыжков В.М., Скроцкий Г.В. К вопросу о возможности использования эффекта Оверхаузера для усиления сигнала свободной прецессии. // — Ленинград: ОКБ Мингеол. СССР, Геофизическое приборостроение (сб. статей), 1960, вып.6, с.27–32.
  4. Кокин А.А. Магнитный резонанс в системах, обладающих одновременно электронным и ядерным парамагнетизмом. // Изв. ВУЗ, 1960, №4, с.198–205.
  5. Кокин А.А. Квантовая теория электронного и ядерного парамагнитного резонанса и релаксации в слабых переменных полях. Кандидатская диссертация. Свердловск. УрГУ, 1961, 179с.
  6. Кокин А.А. Применение преобразования Лапласа в теории магнитного резонанса и релаксации. // Труды Уральского политехнического института, «Магнитный резонанс и релаксация», 1961, Сборник 111, с.16–23.
  7. Кокин А.А., Мороча А.К. Уравнения Блоха, область их применимости и возможные обобщения. // Всесоюзн. симпозиум. «Применение ЯМР и ЯКР в физике и химии твердого тела». Тезисы доклада. Владивосток, 1968, с.7-9.
  8. Кокин А.А. Уширение резонансных линий и релаксация. — М.: МФТИ, 1970, 154 с.
  9. Кокин А.А. Квантовые компьютеры: общие понятия. // Программа лекций, 1-ая Российская школа по квантовым методам обработки информации для студентов и аспиранов, Черноголовка, ИПТМ РАН, Декабрь, 1999
  10. Кокин А.А. ЯМР квантовые компьютеры. // Программа лекций, 1-ая Российская школа по квантовым методам обработки информации для студентов и аспиранов, Черноголовка, ИПТМ РАН, Декабрь, 1999 .
  11. Валиев К.А., Кокин А.А. Полупроводниковые ЯМР квантовые компьютеры с индивидуальным и ансамблевым обращением к кубитам. // Микроэлектроника, 1999, т.28, №5, с.325–336.
  12. Valiev K.A., Kokin A.A. Solid-State NMR Quantum Computer with Individual Access to Qubits and Some Their Ensemble Developments. // LANL E-print, 1999, quant-ph/9909008.
  13. Валиев К.А., Кокин А.А., Ларионов А.А., Федичкин Л.Е. Сверхтонкая структура энергетического спектра донорных атомов 31P в кремниевом ЯМР квантовом компьютере. // Микроэлектроника, 2000, т.29, №5, с.323–332.
  14. Larionov A.A., Fedichkin L.E., Kokin A.A., Valiev K. A. Nuclear Magnetic Resonance Spectrum of 31P Donors in Silicon Quantum Computer. // Abstract book, 8th Inter. Symp. Nanostructeres: Physics and Technology. St.Peterburg, June, 2000, pp.542–545.
  15. Larionov A.A., Fedichkin L.E., Kokin A.A., Valiev K. A. The Nuclear Magnetic Resonance Spectrum of 31P Donors in a Silicon Quantum Computer. // Nanotechnology, 2000, v.11, N.4, Spec. Issue, pp.392–396.
  16. Кокин А.А. Модель ядерного магнито-резонансного квантового компьютера на основе антиферромагнитной структуры. // Тезисы доклада, ХХVIII Зимняя школа физиков-теоретиков. Екатеринбург, Февраль, 2000 с.38.
  17. Валиев К.А., Кокин А.А. Из итогов ХХ века: от кванта к квантовым компьютерам. I. Физические основы и принципы построения квантового компьютера. // Изв. ВУЗ. Электроника, 2000, N.4-5, с.46-52.
  18. Валиев К.А., Кокин А.А. Из итогов ХХ века: от кванта к квантовым компьютерам. II. Квантовая элементная база. // Изв. ВУЗ. Электроника, 2000, N.6, с.3–9.
  19. Kokin A.A. A Model for Ensemble NMR Quantum Computer Using Antiferromagnetic Structure. // E-print LANL, 2000, arXiv:quant-ph/0002034, 17p.
  20. Kokin A.A. A Model for NMR Quantum Cellular Automata Using Antiferromagnetic Structure. // Quantum Computers & Computing, 2001, v.2, N.1, pp.54–67.
  21. Kokin A.A. An Antiferromagnet-Based NMR Quantum Computer. // Abstract book, Euro-Asian Sympos. EASTMAG–2001, February, Ekaterinburg. p.3.
  22. Kokin A.A. An Antiferromagnet-Based NMR Quantum Computer. // Phys. Metal. Metallogr., 2001, v.91, Suppl.1, pp.S150–S156.
  23. Kokin A.A., Valiev K.A. Problems in Realization of Large-Scale Ensemble Silicon-Based NMR Quantum Computers. // Тезисы докл. Всероссийская научно-техническая конфер. МНЭ-2001, Звенигород, Октябрь, 2001, т.1, 04-1.
  24. Валиев К.А. Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность., 2-ое изд. — Москва–Ижевск : НИЦ РХД, 2002. 320с.
  25. Kokin A.A., Valiev K.A. Problems in Realization of Large-Scale Ensemble Silicon-Based NMR Quantum Computers. // E-print LANL, 2002, arXiv:quant-ph/0201083.
  26. Kokin A.A., Valiev K.A. Problems in Realization of Large-Scale Ensemble Silicon-Based NMR Quantum Computers. // Quantum Computers & Computing, 2002, v.3, N.1, pp.25–45.
  27. Кокин А.А. Декогерентизация квантовых состояний и ее подавление в твердотельных ядерных магнитно-резонансных (ЯМР) квантовых компьютерах. // Тезисы доклада, XXIX-Междунар. Зимн. Школа физиков-теоретиков «Коуровка-2002», Кунгур, Февраль, 2002, стр.157–158.
  28. Kokin A.A. Decoherence of Quantum States and Its Suppression in Ensemble Large-Scale Solid State NMR Quantum Computers. // E-print LANL, 2002, arXiv:quant-ph/0211096.
  29. Kokin A.A. Decoherence of Quantum States and Its Suppression in Ensemble Large-Scale Solid State NMR Quantum Computers. // Тезисы доклада, Международный симпозиум «Quantum Informatics» QI­2002, Звенигород, 2002, Proceeding. of SPIE, 2003.
  30. Кокин А.А. Ядерные магнитно-резонансные (ЯМР) квантовые компьютеры. // Программа лекций, Школа «Физика конденсированного состояния» ФКС–2002, ПИЯФ, Гатчина, Апрель, 2002, с.4.
  31. Kokin A.A., Valiev K.A. The proposed large-scale ensemble silicon-based NMR quantum computers. // Abstract book QC.07p, 10th Intern. Sympos. Nanostructures: Phys. & Technology., St.Petersburg, June, 2002
  32. Валиев К.А., Кокин А.А. От квантов к квантовым компьютерам. // Природа, 2002, №12, с.28–34.



Полный текст диссертации можно скачать здесь (PDF 1,41 мегабайт) или здесь (PostScript 900 килобайт, запакован RAR).


На главную страницу
[Мемуары1] [Квантовые компьютеры] [ФТФ УПИ-50 лет]
Гостевая книга: [Заполнить] [Просмотреть]

Публикация в Internet Владимир Кокин. Email


Статистика: